Limite d'une fonction - Spécialité
Fonctions trigonométriques
Exercice 1 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]1, +\infty[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{- x + 3}{4x - \operatorname{sin}{\left(4x \right)} + 4}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment grand.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{- x + 3}{4x - \operatorname{sin}{\left(4x \right)} + 4}}\]
Exercice 2 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]-\infty; -1\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{-3x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} + 4}{-3x -3}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; -1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; -1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{-3x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} + 4}{-3x -3}}\]
Exercice 3 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto -7x^{5} -9x\operatorname{cos}{\left (4x -6 \right )}\]
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{-7x^{5} -9x\operatorname{cos}{\left (4x -6 \right )}}\]
Exercice 4 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]1, +\infty[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{2x + 2}{3x + \operatorname{cos}{\left(x \right)}}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment grand.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{2x + 2}{3x + \operatorname{cos}{\left(x \right)}}}\]
Exercice 5 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]-\infty; -1\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} -1}{4x + 4}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; -1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; -1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} -1}{4x + 4}}\]